L’exposant d’irrationalité de π vaudrait exactement 2

Une explication pour qui a le niveau du baccalauréat et un peu de curiosité.

Vous connaissez π depuis l’école primaire : le rapport entre le périmètre d’un cercle et son diamètre, environ 3,14159… Ce que l’on enseigne moins, c’est que ce nombre est au cœur d’une question profonde : avec quelle finesse peut-on l’approcher par des fractions ?

Début octobre 2026, OpenAI a annoncé qu’un de ses modèles avait produit une démonstration que la réponse est la plus modeste possible : l’exposant d’irrationalité de π vaut exactement 2. Ce résultat n’est, à l’heure où j’écris, pas encore validé par la communauté mathématique. Mais pour comprendre ce qu’il dirait, et pourquoi il serait important, il suffit de partir de zéro.

1. Rationnels, irrationnels, et approximations

Un nombre rationnel s’écrit comme une fraction $\frac{p}{q}$ avec $p$ et $q$ entiers, $q \neq 0$ : par exemple $\frac12 = 0{,}5$ ou $\frac{22}{7}$. Un nombre irrationnel ne peut pas s’écrire ainsi ; son écriture décimale est infinie et jamais périodique.

π est irrationnel : Johann Lambert l’a démontré en 1761. Aucune fraction ne vaut exactement π. Mais on peut s’en approcher, et c’est là que tout commence. Voici les meilleures fractions de petit dénominateur :

L’erreur diminue quand $q$ grandit, ce qui est normal : plus le dénominateur est grand, plus la « grille » de fractions est fine. La question intéressante est : à quelle vitesse l’erreur peut-elle diminuer par rapport à $q$ ? C’est pourquoi la troisième colonne multiplie l’erreur par $q^2$. Gardez-la en tête.

2. Ce que garantit Dirichlet

En 1842, Dirichlet a démontré un résultat universel. Pour tout réel $\alpha$ et tout entier $Q \ge 1$, il existe une fraction $\frac pq$ avec $1 \le q \le Q$ telle que

Conséquence : pour tout irrationnel $\alpha$, il existe une infinité de fractions $\frac pq$ vérifiant $\left|\alpha-\frac pq\right|<\frac1{q^2}$. C’est un plancher : on peut toujours faire au moins aussi bien que $1/q^2$.

Cela se voit dans le tableau : la troisième colonne est toujours inférieure à 1.

3. Peut-on faire mieux ? L’exposant d’irrationalité

Pour certains nombres, oui, et même spectaculairement mieux. Le nombre de Liouville

est construit de façon si particulière qu’on peut l’approcher avec une erreur inférieure à $1/q^n$ pour n’importe quel $n$ fixé, pourvu qu’on choisisse $q$ convenablement. On mesure cette « approchabilité » par un nombre :

• Dirichlet impose toujours $\mu(\alpha) \ge 2$.
• Pour le nombre de Liouville, $\mu(L)=+\infty$.
• Si $\mu(\alpha)=2$, alors pour tout $\varepsilon>0$ (par exemple 0,001), seul un nombre fini de fractions approchent $\alpha$ mieux que $1/q^{2+\varepsilon}$. Autrement dit, on ne peut pas faire sensiblement mieux que Dirichlet.

Un fait surprenant : $\mu(\alpha)=2$ pour « presque tous » les réels (au sens de la mesure de Lebesgue, c’est un théorème de Khintchine). Les nombres très bien approchables sont l’exception. Pourtant, pour un nombre précis comme π, on ne sait pas le démontrer.

4. Le théorème de Roth, et pourquoi π lui échappe

En 1955, Klaus Roth (médaille Fields 1958) a démontré que tout nombre algébrique irrationnel (racine d’un polynôme à coefficients entiers, comme $\sqrt2$) a un exposant d’irrationalité égal à 2. Les nombres algébriques sont donc aussi « mal approchables » que possible.

Mais π est transcendant (Lindemann, 1882) : il n’est racine d’aucun polynôme à coefficients entiers. Le théorème de Roth ne s’applique donc pas, et rien n’interdit a priori à π d’avoir un exposant strictement plus grand que 2, voire infini comme Liouville.

5. Ce que l’on savait de $\mu(\pi)$

On savait seulement :

La borne supérieure a été améliorée par étapes : 8,0 environ dans les années 1990, puis 7,6063 par Salikhov en 2008, et enfin 7,1032 par Zeilberger et Zudilin en 2020. La fourchette restait donc très large.

Les spécialistes conjecturaient $\mu(\pi)=2$, pour trois raisons :

1. presque tous les réels ont $\mu=2$, et π n’a aucune raison d’être exceptionnel ;
2. pour les constantes que l’on sait traiter, la valeur 2 est la bonne : par exemple $\mu(e)=2$ ; en revanche, pour $\ln 2$ ou $\zeta(3)$ on ne connaît que des majorations (environ 3,57 et 5,51 respectivement), pas la valeur exacte ;
3. les calculs numériques ne révèlent rien d’anormal, comme on va le voir avec les fractions continues.

Les fractions continues : l’outil naturel

Tout irrationnel s’écrit de façon unique sous la forme

notée $[a_0;a_1,a_2,\dots]$. Pour π :

Les fractions du tableau ci-dessus sont les « réduites » de ce développement. Elles sont, au sens fort, les meilleures approximations de π. Et le lien avec notre sujet est direct : une réduite est exceptionnellement bonne quand le terme suivant du développement est grand. C’est exactement ce qui se passe avec $\frac{355}{113}$ : elle est suivie du terme 292, d’où son erreur de seulement 0,0034 après multiplication par $q^2$.

Dire $\mu(\pi)=2$, c’est donc dire, grosso modo, que les termes de ce développement ne grossissent jamais « trop » vite. Des termes comme 292 apparaissent de temps en temps, comme pour un nombre « typique », sans jamais exploser.

6. L’annonce d’OpenAI (octobre 2026)

OpenAI affirme qu’un de ses modèles a démontré $\mu(\pi)=2$. Si la preuve tient, π serait aussi mal approchable par des fractions qu’un nombre algébrique irrationnel, bien qu’il soit transcendant.

D’après les résumés de raisonnement publiés, la démonstration repose sur une interpolation pondérée à plusieurs variables combinée à l’étude de déterminants non nuls. Je n’ai pas le texte complet sous les yeux, et seuls des spécialistes pourront en juger les détails. Voici néanmoins l’architecture classique de ce genre d’argument, pour en comprendre l’esprit.

Le schéma général d’une preuve par « méthode de transcendance »

On raisonne par l’absurde : supposons qu’il existe une infinité de fractions $\frac pq$ avec $\left|\pi-\frac pq\right|<\frac1{q^{\nu}}$ pour un certain $\nu>2$. Alors :

1. On construit un objet auxiliaire. Typiquement un polynôme (ici, à plusieurs variables) à coefficients entiers, choisi par interpolation pour être extraordinairement petit au voisinage de π. Il faut contrôler à la fois sa « taille » et sa petitesse.
2. On en tire un entier. En évaluant cet objet en des points bien choisis, ou en formant un déterminant d’une matrice, on obtient un nombre dont on peut prouver qu’il est entier.
3. On montre qu’il n’est pas nul. C’est souvent l’étape la plus difficile. Un entier non nul est, en valeur absolue, au moins égal à 1 (borne arithmétique).
4. On l’estime par l’analyse. Grâce à l’hypothèse d’approximation « trop bonne », les estimations d’intégrales et de séries (bornes analytiques) montrent que ce même nombre est strictement inférieur à 1.
5. Contradiction. Un entier non nul ne peut pas être strictement plus petit que 1. L’hypothèse de départ est donc fausse : seul un nombre fini de telles fractions peut exister, et $\mu(\pi)\le 2$. Avec Dirichlet, on obtient $\mu(\pi)=2$.

La difficulté tient au fait qu’il faut gagner sur tous les tableaux à la fois : construire des objets assez riches pour être très petits, sans que leurs coefficients entiers ne deviennent trop gros, et prouver leur non-nullité, le tout avec des estimations asymptotiques d’une précision extrême. Depuis des décennies, ces méthodes n’ont permis de grignoter la borne de 7 que très lentement ; atteindre exactement 2 serait un saut considérable.

7. Pourquoi ce serait important

• Une question ouverte depuis des décennies serait close. La conjecture $\mu(\pi)=2$ est naturelle, mais aucune méthode n’avait permis de s’en approcher.
• Une nouvelle méthode. Si l’idée d’interpolation pondérée multivariable est solide, elle pourrait s’appliquer à d’autres constantes : $\ln 2$, $\zeta(3)$, ou encore $e^\pi$.
• L’approximation diophantienne, c’est-à-dire l’étude des approximations rationnelles des réels, est reliée à de nombreux domaines de la théorie des nombres, dont certaines équations en nombres entiers et des conjectures célèbres comme la conjecture abc.
• Un jalon pour l’IA en mathématiques. Si la preuve est confirmée, ce serait un cas où une IA contribue de façon originale à un problème ancien de théorie des nombres. La vérification, ici, compte autant que la production : une preuve de cette longueur doit être relue, et idéalement formalisée dans un assistant de preuve.

Ce qu’il faut retenir

1. π est irrationnel (Lambert, 1761) : aucune fraction ne vaut exactement π.
2. Dirichlet (1842) : on peut toujours l’approcher avec une erreur inférieure à $1/q^2$, donc $\mu(\pi)\ge2$.
3. L’exposant d’irrationalité $\mu$ mesure la vitesse maximale à laquelle on peut approcher un nombre par des fractions : 2 pour les algébriques (Roth), $+\infty$ pour les nombres de Liouville.
4. Pour π, on savait seulement $2 \le \mu(\pi) \le 7{,}1032\ldots$
5. OpenAI annonce $\mu(\pi)=2$ : on ne pourrait pas approcher π sensiblement mieux que ne le garantit Dirichlet.
6. La preuve, non encore validée, mêle interpolation à plusieurs variables, déterminants non nuls et comparaison entre bornes arithmétiques (un entier non nul vaut au moins 1) et analytiques.

Pour aller plus loin

• Fractions continues : l’algorithme d’Euclide et les réduites de π.
• Théorème de Roth : des vulgarisations de la preuve existent, en passant par les travaux antérieurs de Liouville, Thue et Siegel.
• Transcendance de π : le théorème de Hermite–Lindemann.
• Mesures d’irrationalité : Zeilberger et Zudilin, The irrationality measure of π is at most 7.103205334137… (2020).

Djamchid Dalili